Question

已知函數(shù)f（x）=

ax2+2

3x+b

是奇函數(shù)，且f（2）=

5

3

．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，-1]上的單調(diào)性，并用定義加以證明．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和條件建立方程關(guān)系即可求實數(shù)a，b的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）在（-∞，-1]上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）．
∴

ax2+2

-3x+b

=-

ax2+2

3x+b

，
因此b=-b，
即b=0．
又f（2）=

5

3

，
∴

4a+2

6

=

5

3

，∴a=2；
（2）由（1）知f（x）=

2x2+2

3x

=

2x

3

+

2

3x

，f（x）在（-∞，-1]上為增函數(shù)，
證明：設(shè)x₁＜x₂≤-1，則f（x₁）-f（x₂）=

2

3

（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）=

2

3

（x₁-x₂）•

x1x2-1

x1x2

．
∵x₁＜x₂≤-1，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（-∞，-1]上為增函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性的證明，根據(jù)相應(yīng)的定義是解決本題的關(guān)鍵．