Question

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，E、F分別在BC、AD上，EF∥AB．現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．

（Ⅰ）當(dāng)BE=1，是否在折疊后的AD上存在一點(diǎn)P，且

AP

=λ

PD

，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由；
（Ⅱ）設(shè)BE=x，問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，三棱錐A-CDF的體積有最大值？并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）根據(jù)CP∥平面ABEF的性質(zhì)，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）設(shè)BE=x，根據(jù)三棱錐的體積公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ） 若存在P，使得CP∥平面ABEF，此時(shí)λ=

3

2

：
證明：當(dāng)λ=

3

2

，此時(shí)

AP

=

3

2

PD

，可得

AP

AD

=

3

5

，
過(guò)P作MP∥FD，與AF交M，
則

MP

FD

=

3

5

，
又PD=5，故MP=3，
∵EC=3，MP∥FD∥EC，
∴MP∥EC，且MP=EC，故四邊形MPCE為平行四邊形，
∴PC∥ME，
∵CP?平面ABEF，ME?平面ABEF，
故答案為：CP∥平面ABEF成立．
（Ⅱ）∵平面ABEF⊥平面EFDC，ABEF∩平面EFDC=EF，AF⊥EF，
∴AF⊥平面EFDC，
∵BE=x，∴AF=x，（0＜x＜4），F(xiàn)D=6-x，
故三棱錐A-CDF的體積V=

1

3

×

1

2

×2×(6-x)x=

1

3

[-(x-3)2+9]=-

1

3

(x-3)2+3，
∴x=3時(shí)，三棱錐A-CDF的體積V有最大值，最大值為3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的性質(zhì)和判定，以及三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生的推理能力．