Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，且a₁=11，b₁=1，a₂+b₂=11，a₃+b₃=11．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{|a_n-b_n|}的前12項的和S₁₂．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，依題意，得，解之即可求得數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：|a_n-b_n|=|13-2n-2^n-1|；通過對0＜n≤3與n≥4的討論，去掉絕對值符號后分利用分組求和的方法即可求得數(shù)列{|a_n-b_n|}的前12項的和S₁₂．

解答： 解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
則

11+d+q=11 11+2d+q2=11

，解得

d=-2 q=2

，
∴a_n=-2n+13，b_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：|a_n-b_n|=|13-2n-2^n-1|；
（i）當0＜n≤3時，a_n＞b_n，a_n-b_n=13-2n-2^n-1；
（ii）n≥4時，a_n＜b_n，|a_n-b_n|=b_n-a_n=2^n-1-（13-2n）．
∴|a_n-b_n|=

13-2n-2n-1，n≤3 2n-1+2n-13，n≥4

，
∴S₁₂=（11-1）+（9-2）+（7-4）-（5-8）-…-（-11-2¹¹）
=20+（8+16+…+2¹¹）-[5+3+…+（-11）]
=4135．

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查方程思想與分類討論思想、等價轉化思想的綜合應用，屬于難題．