Question

14．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|．命題p：關于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集；命題q：函數(shù) y=log₂[（4-a）x-3]在其定義域上是減函數(shù)．
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若命題“p且q”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論，解不等式f（x）≤5；
（2）求出p，q為真時，a是范圍，利用命題“p且q”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，|x+1|+|x-2|≤5．
x≤-1時，-x-1-x+2≤5，∴x≥-2，∴-2≤x≤-1；
-1＜x＜2時，x+1-x+2≤5恒成立；
x≥2時，x+1+x-2≤5，∴x≤3，∴2≤x≤3，
綜上，-2≤x≤3；
（2）x≤-1時，f（x）=-x-1-x+2=-2x+1≥3；
-1＜x＜2時，f（x）=x+1-x+2=3；
x≥2時，f（x）=x+1+x-2=2x-1≥3，
綜上，f（x）≥3，
∵關于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，
∴a＞3，
∵函數(shù) y=log₂[（4-a）x-3]在其定義域上是減函數(shù)，
∴4-a＜0，
∴a＞4，
∵命題“p且q”是真命題，
∴a＞4

點評 本題考查絕對值不等式，考查分類討論的數(shù)學思想，考查復合命題真假判斷，屬于中檔題．