(2011•泉州模擬)如圖所示,圓錐SO的軸截面△SAB是邊長為4的正三角形,M為母線SB的中點(diǎn),過直線AM作平面β⊥面SAB,設(shè)β與圓錐側(cè)面的交線為橢圓C,則橢圓C的短半軸為( 。
分析:過C作平行于圓錐底面的截面(圓形),交AS、BS于R、T,交橢圓C于兩點(diǎn)P、Q,則P、Q即是橢圓短半軸頂點(diǎn),先利用軸截面△SAB是邊長為4的正三角形,C為AM的中點(diǎn),計算RC,TC的值,再利用相交弦定理即可求得.
解答:解:過橢圓C作平行于圓錐底面的截面(圓形),交AS、BS于R、T,交橢圓C于兩點(diǎn)P、Q,則P、Q即是橢圓短半軸頂點(diǎn)
在所作的圓中,RT為直徑,如圖,
∵軸截面△SAB是邊長為4的正三角形,C為AM的中點(diǎn)
∴TC=
1
2
AB
=2,RC=
1
4
AB
=1,
∵PQ⊥RT,∴PC=CQ
∴利用相交弦定理可得:PC×CQ=TC×RC
PC=
2

∴橢圓C的短半軸為
2

故選A.
點(diǎn)評:本題以圓錐為載體,考查圓錐的截面問題,考查橢圓的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是確定橢圓短半軸頂點(diǎn).
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