Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)CD至E，使DE=CD，若點(diǎn)P是以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓弧（不超出正方形）上的任一點(diǎn)，設(shè)向量

AP

=λ

AB

+μ

AE

，則λ+μ的最小值為

 

，λ+μ 的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)

AB

=（1，0），

AE

=（-1，1），

AP

=（cosθ，sinθ）．利用向量

AP

=λ

AB

+μ

AE

，可得λ+μ=2sinθ+cosθ，再利用兩角和差的正弦公式及其有界性即可得出．

解答： 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)

AB

=（1，0），

AE

=（-1，1），

AP

=（cosθ，sinθ），
∵向量

AP

=λ

AB

+μ

AE

，
∴（cosθ，sinθ）=λ（1，0）+μ（-1，1）=（λ-μ，μ），
∴

λ-μ=cosθ μ=sinθ

.θ∈[0，

π

2

]．
∴λ+μ=2sinθ+cosθ=

5

sin(θ+φ)≤

5

，
當(dāng)

AP

=

AB

時(shí)，λ=1，μ=0，此時(shí)λ+μ取得最小值．
因此λ+μ的最小值是1；最大值為

5

．
故答案分別為：1，

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、兩角和差的正弦公式及其有界性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和解決問(wèn)題的能力，屬于難題．