Question

14．如圖所示，拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線l與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，弦PQ的中點(diǎn)為N，經(jīng)過點(diǎn)N作y軸的垂線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)T．
（Ⅰ）若直線l的斜率為1，且|PQ|=4，求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）證明：無論p為何值，以線段TN為直徑的圓總經(jīng)過點(diǎn)F．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)直線l的方程為y=x-$\frac{p}{2}$，與拋物線C的方程聯(lián)立，化簡得x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，根據(jù)|PQ|=4，求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求出點(diǎn)N、點(diǎn)T的坐標(biāo)，證明$\overrightarrow{FT}$•$\overrightarrow{FN}$=-p²m²+p²m²=0，即可證明：無論p為何值，以線段TN為直徑的圓總經(jīng)過點(diǎn)F．

解答 （Ⅰ）解：由直線l的斜率為1，可設(shè)直線l的方程為y=x-$\frac{p}{2}$，
與拋物線C的方程聯(lián)立，化簡得x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由韋達(dá)定理可知，x₁+x₂=3p，
∴|PQ|=x₁+x₂+p=4p=4，p=1，
∴拋物線C的方程為y²=2x．…（5分）
（Ⅱ）證明：設(shè)直線l的方程為x=my+$\frac{p}{2}$，
與拋物線C的方程聯(lián)立，化簡得y²-2pmy-p²=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由韋達(dá)定理可知，y₁+y₂=2pm，
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+p=2pm²+p，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（pm²+$\frac{p}{2}$，pm），
∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（-$\frac{p}{2}$，pm），
∴$\overrightarrow{FT}$=（-p，pm），$\overrightarrow{FN}$=（pm²，pm），
∴$\overrightarrow{FT}$•$\overrightarrow{FN}$=-p²m²+p²m²=0，
∴無論p為何值，以線段TN為直徑的圓總經(jīng)過點(diǎn)F．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，同時(shí)考查向量與解析幾何的交匯，綜合性強(qiáng)．