(1)求證:V、A、B、C四點(diǎn)在同一個(gè)球面上;
(2)過(guò)球心作一平面與底面內(nèi)直線AB垂直,求證:此平面截三棱錐所得截面為矩形.
證明:四點(diǎn)共球問(wèn)題關(guān)鍵是找到某一個(gè)特殊點(diǎn),使該點(diǎn)到四個(gè)點(diǎn)的距離相等,而該點(diǎn)即為該球的球心.
關(guān)于截面問(wèn)題,由于是和大圓相交,可先證四邊形為平行四邊形,再證一相鄰邊垂直即可. (1)如圖所示,取VC的中點(diǎn)M
∵ VA⊥底面ABC,且∠ABC=90° ∴ BC⊥VB 在Rt△VBC中,M為VC的中點(diǎn) ∴ MB=MC=MV 同理Rt△VAC中,MA=MC=MV ∴ VM=AM=BM=CM ∴ V、A、B、C四點(diǎn)在同一球面上 (2)取AC、AB、VB的中點(diǎn)分別為N、P、Q,連結(jié)NP、PQ、QM、MN,則MNPQ就是垂直于AB的三棱錐V-ABC的截面. 易知四邊形MNPQ是平行四邊形,又VA⊥BC,PQ∥VA,NP∥BC ∴ PQ⊥PN,故截面MNPQ是矩形. |
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