三棱錐V-ABC中，VA⊥底面ABC，∠ABC=90°

　　(1)求證：V、A、B、C四點在同一個球面上；

　　(2)過球心作一平面與底面內(nèi)直線AB垂直，求證：此平面截三棱錐所得截面為矩形．

答案：
解析：

證明：四點共球問題關鍵是找到某一個特殊點，使該點到四個點的距離相等，而該點即為該球的球心．

　　關于截面問題，由于是和大圓相交，可先證四邊形為平行四邊形，再證一相鄰邊垂直即可．

　　(1)如圖所示，取VC的中點M

　　∵　VA⊥底面ABC，且∠ABC=90°

　　∴　BC⊥VB

　　在Rt△VBC中，M為VC的中點

　　∴　MB=MC=MV

　　同理Rt△VAC中，MA=MC=MV

　　∴　VM=AM=BM=CM

　　∴　V、A、B、C四點在同一球面上

　　(2)取AC、AB、VB的中點分別為N、P、Q，連結NP、PQ、QM、MN，則MNPQ就是垂直于AB的三棱錐V-ABC的截面．

　　易知四邊形MNPQ是平行四邊形，又VA⊥BC，PQ∥VA，NP∥BC

　　∴　PQ⊥PN，故截面MNPQ是矩形．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

15、如圖，三棱錐V-ABC中，VA⊥底面ABC，∠ABC=90°．
（1）求證：V、A、B、C四點在同一球面上；
（2）過球心作一平面與底面內(nèi)直線AB垂直，求證：此平面截三棱錐所得的截面是矩形．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，側棱長為2
3
的正三棱錐V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=30°，過A作截面AEF，則截面三角形AEF周長的最小值是
2
6
2
6
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理）三棱錐V-ABC中，VA=VB=AC=BC=3，AB=2
3
，VC=7，畫出二面角V-AB-C的平面角，并求它的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在三棱錐V-ABC中，底面△ABC是以∠ABC為直角的等腰三角形．又V在底面ABC上的射影H在線段AC上且靠近點C，AC=4，VA=
14
，VB和底面ABC所成的角為45°．
（Ⅰ）求點V到底面ABC的距離；
（Ⅱ）求二面角V-AB-C的大小的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•張掖模擬）已知三棱錐V-ABC中，VA=3
2
，VB=4，VC=
2
，點E為側棱VC上的一點，VA⊥BE，且頂點V在底面ABC上的射影為底面的垂心．如果球O是三棱錐V-ABC的外接球，則V，A兩點的球面距離是（　�。�

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