Question

已知P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，

PA

+

2PB

+

3PC

=

0

，記△PBC、△PAC、△PAB的面積分別為S₁、S₂、S₃，則S₁：S₂：S₃=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：延長PB到B'，使PB'=2PB，延長PC到C'，使PC=3PC'，則

PA

+

PB′

+

PC′

=

0

，再利用比例關(guān)系確定S₁：S₂：S₃．

解答： 解：如圖：延長PB到B'，使PB'=2PB，延長PC到C'，使PC=3PC'，則

PA

+

PB′

+

PC′

=

0

，
∴P是△AB'C'的重心，
∴S_△PAB'=S_△PAC'=S_△PB'C'=k
∴S₁=

1

2

PB•PCsin∠BPC
=

1

2

•

1

2

PB'•

1

3

PC'sin∠BPC
=

1

6

S_△PB'C'=

1

6

k
S₃=

1

2

S_△PAB'=

1

2

k，
S₂=

1

3

S△PAC'=

1

3

k
故S₁：S₂：S₃=1：2：3．
故答案為：1：2：3．

點(diǎn)評：本題考查了向量的三角形法則、共線定理、相似三角形的性質(zhì)，屬于難題．