Question

已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N^*.

(1)當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大��；

(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝1，

所以f(1)＝g(1)；

當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝，g(2)＝，

所以f(2)<g(2)；

當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)＝，g(3)＝，

所以f(3)<g(3)．

(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明．

①當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，不等式顯然成立．

②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3，k∈N^*)時(shí)不等式成立，

即1＋＋＋＋…＋<－，

那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

，

所以f(k＋1)<－＝g(k＋1)．

由①②可知，對一切n∈N^*，

都有f(n)≤g(n)成立．