Question

（2012•安徽模擬）已知函數(shù)f(x)=

a×2x-1

1+2x

(a∈R)．
（I）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（III）當(dāng)a=5時，函數(shù)f（x）的圖象是否存在對稱中心，若存在，求其對稱中心；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，求出f（x）的定義域可得0在其定義域上，由奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0可得

a×20-1

1+20

=0，解可得a的值，
（Ⅱ）由題意可得，a=5時，f（x）的解析式，可以假設(shè)f（x）的圖象存在對稱中心，且其對稱中心的坐標(biāo)為（h，k），由其對稱性可得對于任意的x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，將解析式代入，變形整理可得（4-2k）×2^h+x+（4-2k）×2^h-x+[（10-2k）×2^2h-2-2k]=0恒成立，分析可得

4-2k=0 (10-2k)×22h-2-2k=0

，解可得h、k的值，即可得f（x）的對稱性與其對稱中心的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f(x)=

a×2x-1

1+2x

(a∈R)，有1+2^x＞1恒成立，
則f（x）的定義域?yàn)镽，
又由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，可得f（0）=0，
則f（0）=

a×20-1

1+20

=0，解可得a=1，
此時f（x）=

2x-1

1+2x

；
（Ⅱ）當(dāng)a=5時，f（x）=

5×2x-1

1+2x

=5-

6

1+2x

，
假設(shè)f（x）的圖象存在對稱中心，且其對稱中心的坐標(biāo)為（h，k），
則對于任意的x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，
10-6（

1

1+2h+x

+

1

1+2h-x

）=2k恒成立，
整理可得（4-2k）×2^h+x+（4-2k）×2^h-x+[（10-2k）×2^2h-2-2k]=0恒成立，
于是有

4-2k=0 (10-2k)×22h-2-2k=0

，解可得h=0，k=2，
故當(dāng)a=5時，函數(shù)f（x）的圖象存在對稱中心，且其對稱中心為（0，2）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的對稱性與奇偶性的應(yīng)用，（Ⅰ）中可以利用當(dāng)0在函數(shù)的定義域上時，奇函數(shù)中必有f（0）=0的性質(zhì)來解題，不必運(yùn)用f（-x）=f（x）來分析求解．