Question

【題目】如圖，在斜三棱柱中，側面與側面都是菱形，，．

求證：；

若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）－．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要證明線線垂直，一般要證線面垂直，因此要證線線垂直，題中只有兩個60°角的菱形，因此有等邊三角形，只要取中點為，則有CC1⊥OA，CC1⊥OB1，因此有線面垂直，從而證得題中的線線垂直；（Ⅱ）要求二面角，由己知又可得，因此以OB1，OC1，OA為正方向建立空間直角坐標系，可寫出各點坐標，從而求得兩平面CAB1和平面A1AB1的法向量，由法向量夾角余弦得二面角余弦，要注意二面角是銳角還是鈍角．

試題解析：（Ⅰ）證明：連AC1，CB1，則

△ACC1和△B1CC1皆為正三角形．

取CC1中點O，連OA，OB1，則

CC1⊥OA，CC1⊥OB1，則

CC1⊥平面OAB1，則CC1⊥AB1． …4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA＝OB1＝，又AB1＝，

所以OA⊥OB1．如圖所示，分別以OB1，OC1，OA為正方向建立空間直角坐標系，

則C(0，－1，0)，B1(，0，0)，A(0，0，)，

設平面CAB1的法向量為m＝(x1，y1，z1)， 因為＝(，0，－)，＝(0，－1，－)，

所以取m＝(1，－，1)．

設平面A1AB1的法向量為n＝(x2，y2，z2)， 因為＝(，0，－)，＝ (0，2，0)，

所以取n＝(1，0，1)．

則cosm，n＝＝＝，因為二面角C-AB1-A1為鈍角，

所以二面角C-AB1-A1的余弦值為－．