Question

7．關(guān)于下列命題：①若sinθ-cosθ=$\frac{1}{2}$，則sin2θ=$\frac{3}{4}$；②函數(shù)y=cos2（$\frac{π}{4}$-x）是偶函數(shù)；③函數(shù)y=sin（x+$\frac{π}{4}$）在閉區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上是增函數(shù)；④函數(shù)y=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）的一個(gè)對(duì)稱中心是（$\frac{π}{6}$，0）．寫出所有正確命題的序號(hào)①④．

Answer 1

分析 由條件利用二倍角公式求得①正確；利用誘導(dǎo)公式、正弦函數(shù)的奇偶性可得②不正確；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得③不正確；根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性可得④正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：若sinθ-cosθ=$\frac{1}{2}$，則1-sin2θ=$\frac{1}{4}$，求得sin2θ=$\frac{3}{4}$，故①正確．
由于函數(shù)y=cos2（$\frac{π}{4}$-x）=cos（$\frac{π}{2}$-2x）=sin2x是奇函數(shù)，故②不正確．
在閉區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上，x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，故函數(shù)y=sin（x+$\frac{π}{4}$）在閉區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上不是單調(diào)函數(shù)，故③不正確．
令x=$\frac{π}{6}$，求得函數(shù)y=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）=0，可得函數(shù)y=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）的一個(gè)對(duì)稱中心是（$\frac{π}{6}$，0），故④正確，
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二倍角公公式、誘導(dǎo)公公式，正弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題．