Question

【題目】已知函數(shù)圖象過點，且在該點處的切線與直線垂直．

（1）求實數(shù)，的值；

（2）對任意給定的正實數(shù)，曲線上是否存在兩點，，使得是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，理由見解析．

【解析】

試題分析：（1）首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到關(guān)于的方程組，從而求解即可；（2）首先假設(shè)曲線上存在兩點，，使得是以為直角頂點的直角三角形，從而根據(jù)條件設(shè)出的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量垂直的充要條件建立方程，再根據(jù)方程解的情況構(gòu)造新函數(shù)，從而通過求導(dǎo)研究新函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出結(jié)論．

試題解析：（1）當(dāng)時，，則，

由題意知解得．

（2）假設(shè)曲線上存在兩點，，使得是以為直角頂點的直角三角形，則，只能在軸的兩側(cè)，不妨設(shè)（），則，且．

因為是以為直角頂點的直角三角形，所以，

即，（1）

是否存在點，等價于方程（1）是否有解，

若，則，代入方程（1）得：，此方程無實數(shù)解．

若，則，代入方程（1）得到，

設(shè)，則在上恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，從而，

所以當(dāng)時，方程有解，即方程（1）有解，

所以對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點，，使得是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上．