已知函數,.
(1)如果函數在上是單調減函數,求的取值范圍;
(2)是否存在實數,使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不相等的實數根?若存在,請求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
(1);(2)存在,且的范圍是.
解析試題分析:(1)由于是多項式函數,故對最高次項系數分類,時它是一次函數,是增函數,不是減函數,當時,是二次函數,需要考慮對稱軸和開口方向;(2)首先把方程化簡,變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/14/1/1m2qq3.png" style="vertical-align:middle;" />,設,即方程在區(qū)間內有且只有兩個不相等的實數根,轉化為討論函數的單調性及極值問題,如本題中,通過分析導函數,知在上是減函數,在上增函數,因此條件為解這個不等式組即得所求的取值范圍.
試題解析:(1)當時,在是單調增函數,不符合題意;
當時,的對稱軸方程為,由于在上是單調增函數,不符合題意;
當時,函數在上是單調減函數,則,解得.
綜上,的取值范圍是. 4分
(2)把方程整理為,
即為方程, 5分
設,原方程在區(qū)間內有且只有兩個不相等的實數根,即為函數在區(qū)間內有且只有兩個零點. 6分
,
令,∵,解得或(舍),
當時,,是減函數,
當時,,是增函數. 10分
在內有且只有兩個不相等的零點,只需 11分
即 ∴
解得,所以的取值范圍是.
考點:(1)單調減函數的判定;(2)方程根的個數的判定.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時)是車流密度(單位:輛/千米)的函數.當橋上的車流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0;當車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/小時,研究表明:當時,車流速度是車流密度x的一次函數.
(1)當時,求函數的表達式;
(2)當車流密度為多大時,車流量(單位時間內通過橋上某觀點的車輛數,單位:輛/每小時)可以達到最大,并求出最大值(精確到1輛/小時)
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知在區(qū)間上是增函數.
(1)求實數的值組成的集合;
(2)設關于的方程的兩個非零實根為、.試問:是否存在實數,使得不等式對任意及 恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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