Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx x ，x＞6 e-x(x3+3x2+ax+b)，x≤6

，其中a，b∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=b=-3時，函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x≤6時，若函數(shù)h（x）=f（x）-e^-x（x³+b-1）存在兩個相距大于2的極值點，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)g（x）與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，且函數(shù)g（x）在點（-6，m），（2，n）單調(diào)遞減，在（m，2），（n，+∞）單調(diào)遞增，試證明：f（n-m）＜

5 6

36

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）分別求出x＞6和x≤6的導(dǎo)數(shù)，注意化簡與分解因式，解不等式求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）化簡h（x），并對h（x）求導(dǎo)，令m（x）=3x²+（a-6）x+1-a，設(shè)其零點為x₁，x2，根據(jù)條件列出不等式組，注意判別式大于0，解出a的范圍即可；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)g（x）與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，只要將x換為-x，考慮x≥-6時的函數(shù)的導(dǎo)g'（x），由g’（2）=0得b=3a-4，根據(jù)單調(diào)區(qū)間令x³+（a-6）x+（4-2a）=（x-2）（x-m）（x-n），展開左邊比較系數(shù)得到m，n之間的關(guān)系，由f（x）在[6，+∞）單調(diào)遞減，得到f（n-m）與f（6）之間的大小，再由不等式的知識判斷

ln6

6

與

5 6

36

的大小，從而得證．

解答： 解：（Ⅰ）①當(dāng)x＞6時f（x）=

lnx

x

，
令f’（x）=

1-lnx

x2

＜0，
∴f（x）在（6，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)x≤6時，由已知有f（x）=（x³+3x²-3x-3）e^-x，
∴f’（x）=-x（x-3）（x+3）e^-x，
∴f（x）在（-∞，-3），（0，3）上單調(diào)遞增，
在（-3，0），（3，6）上單調(diào)遞減，
綜上，f（x）的增區(qū)間是（-∞，-3），（0，3），
單調(diào)減區(qū)間為（-3，0），（3，6），（6，+∞）．
（Ⅱ）當(dāng)x≤6，h（x）=e^-x（3x²+ax+1），
h’（x）=e^-x[-3x²-（a-6）x+a-1]，
令m（x）=3x²+（a-6）x+1-a，設(shè)其零點為x₁，x₂，
由

(a-6)2-4×3×(1-a)＞0 m(6)≥0 - a-6 6 ＜6 |x1-x2|＞2

解得-

73

5

≤a＜-2

3

或a＞2

3

；
（Ⅲ）g(x)=

ln(-x) -x ，x＜-6 ex(-x3+3x2-ax+b)，x≥-6

，
當(dāng)x≥-6時，g’（x）=e^x[-x³+（6-a）x+（b-a）]，
由g’（2）=0得b=3a-4，
從而g’（x）=-e^x[x³+（a-6）x+（4-2a）]，
∵g’（m）=g’（n）=0，
∴x³+（a-6）x+（4-2a）=（x-2）（x-m）（x-n），
將右邊展開，與左邊比較系數(shù)，得m+n=-2，mn=a-2，
∵n＞2，∴m＜-4，
∴n-m＞6，
∵f（x）在[6，+∞）單調(diào)遞減，
∴f（n-m）＜f（6）=

ln6

6

，
∵ln6＜2，∴6ln6＜12，
∴（6ln6）2＜144＜150，即6ln6＜5

6

，
∴

ln6

6

＜

5 6

36

，
∴f(n-m)＜

5 6

36

得證．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合運用，求單調(diào)區(qū)間，求極值點，同時考查函數(shù)單調(diào)性的運用，二次方程實根的分布，不等式的證明和分段函數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．