Question

3．環(huán)境保護越來越受各級政府部門所重視，某市有一景區(qū)由于游客的吃喝拉撒產(chǎn)生大量垃圾，嚴重影響環(huán)境衛(wèi)生．該景區(qū)從2014年起每年投入到環(huán)境保護中的固定費用為10萬元，每接侍一萬人需另投入2.7萬元．假設(shè)該景區(qū)每年接待游客x萬人，每一萬人的門票收人為R（x）萬元．且R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{10.8-\frac{1}{3000}{x}^{2}，0＜x≤100}\\{\frac{1074}{x}-\frac{98010}{3{x}^{2}}，x＞100}\end{array}\right.$年收益為y萬元，其他費用忽略不計．
1）寫出該景點年收益y（萬元）關(guān)于年接待游客x（萬人）的函數(shù)解析式；
2）年接待游客為多少萬人時，該景區(qū)的年收益y最大．（注：年收益=門票收人-環(huán)保費用）

Answer 1

分析 （1）化簡y=xR（x）-10-2.7x=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3000}{x}^{3}+8.1x-10，0＜x≤100}\\{1074-\frac{98010}{3x}-2.7x-10，x＞100}\end{array}\right.$；
（2）依分段函數(shù)討論，分別求最值，從而確定最大值．

解答 解：（1）由題意得，
y=xR（x）-10-2.7x
=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3000}{x}^{3}+8.1x-10，0＜x≤100}\\{1074-\frac{98010}{3x}-2.7x-10，x＞100}\end{array}\right.$；
（2）當0＜x≤100時，
y=-$\frac{1}{3000}$x³+8.1x-10，
y′=-$\frac{{x}^{2}}{1000}$+8.1=-$\frac{1}{1000}$（x-90）（x+90）；
故當x=90時，y_max=-$\frac{1}{3000}$×90³+8.1×90-10=476；
當x＞100時，
y=1074-$\frac{98010}{3x}$-2.7x-10=1064-（$\frac{98010}{3x}$+2.7x），
∵$\frac{98010}{3x}$+2.7x≥2$\sqrt{\frac{98010}{3x}•2.7x}$=2×297=594，
則y_max=1064-594=470．
（當且僅當$\frac{98010}{3x}$=2.7x，即x=110時，等號成立）；
故年接待游客為90萬人時，該景區(qū)的年收益y有最大值476．

點評 本題考查了函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，同時考查了導(dǎo)數(shù)及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．