Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足a₃=3，且$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{n}$，則數(shù)列{a_n}的前100項和S₁₀₀=5050．

Answer 1

分析 由已知條件推導(dǎo)出a₁=1，再由累乘法得到a_n=${a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$1×\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×…×\frac{n}{n-1}$=n，由此利用等差數(shù)列前n項和公式能求出{a_n}的前100項和．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₃=3，且$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{3}{2}$，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{2}{1}$，
解得${a}_{2}=\frac{2{a}_{3}}{3}$=$\frac{2×3}{3}=2$，
${a}_{1}=\frac{{a}_{2}}{2}=1$，
a_n=${a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$1×\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×…×\frac{n}{n-1}$=n，
∴數(shù)列{a_n}的前100項和：
S₁₀₀=1+2+3+…+100=$\frac{100（1+100）}{2}$=5050．
故答案為：5050．

點評 本題考查數(shù)列的前100項物求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意累乘法的合理運用．