Question

12．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，公差d=2，S₁₀=120．
（1）求a_n；
（2）若b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}+\sqrt{{a}_{n}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)公差d=2可知S₁₀=10a₁+$\frac{10×9}{2}$×2=120，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是以3為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知a_n=2n+1，通過(guò)分母有理化、裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+3}$-$\sqrt{2n+1}$），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，S₁₀=10a₁+$\frac{10×9}{2}$×2=120，
解得：a₁=3，
∴數(shù)列{a_n}是以3為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（2）由（1）可知a_n=2n+1，
∴b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}+\sqrt{{a}_{n}}}$
=$\frac{1}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n+1}}$
=$\frac{\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n+1}}{（\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n+1}）（\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n+1}）}$
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+3}$-$\sqrt{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$+…+$\sqrt{2n+3}$-$\sqrt{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+3}$-$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．