Question

已知公比不為1的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且S₁，2S₂，3S₃成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

3n-1•an

n(n+1)

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)出等比數(shù)列{a_n}的公比為q，若q為1，由首項(xiàng)a₁，利用等比數(shù)列的求和公式分別表示出S₁，2S₂，3S₃，得到S₁，2S₂，3S₃不成等差數(shù)列，矛盾，故q不為1，利用等比數(shù)列的求和公式分別表示出S₁，2S₂，3S₃，根據(jù)S₁，2S₂，3S₃成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)于q的方程，求出方程的解得到q的值，首項(xiàng)a₁及q的值，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用裂項(xiàng)法，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
若q=1，則S₁=a₁=1，2S₂=4a₁=4，3S₃=9a₁=9，故S₁+3S₃=10≠2×2S₂，與已知矛盾，故q≠1，
由S₁，2S₂，3S₃成等差數(shù)列，得S₁+3S₃=2×2S₂，
即1+3×

1-q3

1-q

=4×

1-q2

1-q

，
解得：q=

1

3

，
則a_n=a₁•q^n-1=（

1

3

）^n-1；
（Ⅱ）b_n=

3n-1•an

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，熟練掌握公式及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．