Question

1．已知2cos⁴θ+5cos²θ-7=asin⁴θ+bsin²θ+c是恒等式，求a、b、c的值．

Answer 1

分析 采取賦特殊值解決，當(dāng)θ=0時，代入原式可解得c，當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$時，可求cosθ=0，sinθ=1，代入原式可得a+b=-7，①，當(dāng)θ=$\frac{π}{4}$時，可得sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sin²θ=$\frac{1}{2}$，sin⁴θ=$\frac{1}{4}$，cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cos²θ=$\frac{1}{2}$，cos⁴θ=$\frac{1}{4}$，代入原式可得-20=a+2b，②，聯(lián)立方程即可得解．

解答 解：既然是恒等式，則可采取賦特殊值解決，
當(dāng)θ=0時，原式可以化為2+5-7=c，
∴解得：c=0，
當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$時，cosθ=0，sinθ=1，
∴原式可以化為a+b=-7，①
當(dāng)θ=$\frac{π}{4}$時，sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sin²θ=$\frac{1}{2}$，sin⁴θ=$\frac{1}{4}$，
cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cos²θ=$\frac{1}{2}$，cos⁴θ=$\frac{1}{4}$，
∴原式可以化為：$2×\frac{1}{4}+5×\frac{1}{2}-7$=$\frac{a}{4}+\frac{2}$，整理可得：-20=a+2b，②
所以：②-①可解得：b=-13，a=-6．
故：a、b、c的值分別為：-6，-13，0．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，用特殊值法解決是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查．