Question

（2011•東城區(qū)一模）已知函數f(x)=xlnx，g(x)=

x

ex

-

2

e

．
（Ⅰ）求函數f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）證明：對任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，得f'（x）=lnx+1．由此能求出函數f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值．
（Ⅱ）由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））在x=

1

e

時取得最小值，知f(m)≥-

1

e

．由g(x)=

x

ex

-

2

e

，得g′(x)=

1-x

ex

．所以函數g（x）（x＞0）在x=1時取得最大值，由此能夠證明對任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．

解答：（Ⅰ）解：由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1．
當x∈(0，

1

e

)，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，
當x∈(

1

e

，+∞)，f′(x)＞0，f(x)單調遞增．
所以函數f（x）在區(qū)間[1，3]上單調遞增，又f（1）=0，
所以函數f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值為0．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））在x=

1

e

時取得最小值，
又f(

1

e

)=-

1

e

，可知f(m)≥-

1

e

．
由g(x)=

x

ex

-

2

e

，可得g′(x)=

1-x

ex

．
所以當x∈（0，1），g'（x）＞0，g（x）單調遞增，
當x∈（1，+∞），g'（x）＜0，g（x）單調遞減．
所以函數g（x）（x＞0）在x=1時取得最大值，
又g(1)=-

1

e

，可知g(n)≤-

1

e

，
所以對任意m，n∈（0，+∞），
都有f（m）≥g（n）成立．

點評：本題考查函數f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值的求法和證明：對任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．解題時要認真審題，注意導數的性質的靈活運用．