Question

已知正四面體A-BCD，設(shè)異面直線AB與CD所成的角為α，側(cè)棱AB與底面BCD所成的角為β，側(cè)面ABC與底面BCD所成的角為γ，則比較三者大小

 

．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：分別根據(jù)異面直線所成角的定義，線面角的定義，以及二面角的定義確定α，β，γ的大小即可得到結(jié)論．

解答： 解：過A作A在底面的射影O，
∵A-BCD是正四面體，
∴0是底面的中心，
取BC的中點E，連結(jié)OB，OE，AE，
則∠ABO是側(cè)棱AB與底面BCD所成的角，即β=∠ABO
側(cè)面ABC與底面BCD所成的角為∠AEO，即γ=∠AEO，
在正四面體A-BCD中，AB⊥CD，即異面直線AB與CD所成的角為α=90°，
∵sinβ=sin∠ABO=

AO

AB

，sinγ=sin∠AEO=

AO

AE

，
∵AB＞AE，
∴

AO

AB

＜

AO

AE

，
即sinβ＜sinγ，則β＜γ＜90°，
即β＜γ＜α，
故答案為：β＜γ＜α

點評：本題主要考查空間角才大小計算，要求熟練掌握直線所成的角，線面角和二面角的大小計算．