Question

18．已知函數(shù)f（x）=lg（10^x+a）是定義域為R上的奇函數(shù)，h（x）=tf（x）．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若h（x）≤xlog₃x在x∈[3，8]上恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）=lg（10^x+a）是定義域為R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，解得實數(shù)a的值；
（2）若h（x）≤xlog₃x在x∈[3，8]上恒成立，則t≤log₃x在x∈[3，8]上恒成立，結(jié)合log₃x在x∈[3，8]上最小值為1，可得t的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=lg（10^x+a）是定義域為R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=lg（10⁰+a）=0，
即1+a=1，
解得：a=0
（2）由（1）得函數(shù)f（x）=lg（10^x）=x，
若h（x）=tf（x）=tx≤xlog₃x在x∈[3，8]上恒成立，
∴t≤log₃x在x∈[3，8]上恒成立，
∴t≤1．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的最值，函數(shù)的奇偶性，難度中檔．