Question

7．已知關(guān)于x的不等式x²-mx-2n＜0的解集為（-1，3）
（1）求不等式x²-x-m＞0的解集；
（2）求不等式組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2nx+m≤0}\\{x-y+1≥0}\\{2x+3y≥6}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)不等式的解集和對(duì)應(yīng)方程之間的關(guān)系求出m，n即可求不等式x²-x-m＞0的解集；
（2）化簡(jiǎn)不等式組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2nx+m≤0}\\{x-y+1≥0}\\{2x+3y≥6}\end{array}\right.$，利用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)梯形的面積公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵不等式x²-mx-2n＜0的解集為（-1，3），
∴-1和3是方程x²-mx-2n=0的根，
則-1+3=m，-1×3=-2n，
即m=2，n=$\frac{3}{2}$，
則不等式x²-x-m＞0為x²-x-2＞0，
解得x＞2或x＜-1，
即不等式的解集為{x|x＞2或x＜-1}；
（2）不等式組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2nx+m≤0}\\{x-y+1≥0}\\{2x+3y≥6}\end{array}\right.$等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2≤0}\\{x-y+1≥0}\\{2x+3y≥6}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{x-y+1≥0}\\{2x+3y≥6}\end{array}\right.$，
則對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)榈妊�梯形ABCD，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{2x+3y=6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，即B（1，$\frac{4}{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即D（2，3），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{2x+3y=6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，即C（2，$\frac{2}{3}$），
則AB=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，CD=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$，梯形的高為1，
則平面區(qū)域的面積S=$\frac{\frac{2}{3}+\frac{7}{3}}{2}×1$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次不等式的求解以及二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用一元二次方程與不等式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．