Question

8．對一切實(shí)數(shù)x，函數(shù)f（x）滿足：xf（x）=2f（1-x）+1，則f（5）=$\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 根據(jù)所給條件，構(gòu)造另一方程，利用方程組法求解函數(shù)的解析式．然后代入求解即可．

解答 解：∵2f（1-x）+1=xf（x） ①，
用x代替1-x得：2f（x）+1=（1-x）f（1-x） ②
（1）若x=1．在①中取x=0，得：f（1）=-$\frac{1}{2}$．即當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{2}$，
（2）若x≠1．①×（1-x）得：2（1-x）f（1-x）+（1-x）=x（1-x）f（x） ③
②×2得：4f（x）+2=2（1-x）f（1-x） ④
③+④，消去f（1-x），得：f（x）=$\frac{x-3}{{x}^{2}-x+4}$，（x≠1）而當(dāng)x=1時(shí)，也滿足f（x）=$\frac{x-3}{{x}^{2}-x+4}$，
綜上，對任意x∈R，f（x）=$\frac{x-3}{{x}^{2}-x+4}$，
則f（5）=$\frac{5-3}{25-5+4}$=$\frac{2}{24}$=$\frac{1}{12}$，
故答案為：$\frac{1}{12}$．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，利用抽象函數(shù)的關(guān)系，利用方程組法求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵．