Question

【題目】已知圓M：，直線l：（）過定點N，點P是圓M上的任意一點，線段的垂直平分線和相交于點Q，當點P在圓M上運動時，點Q的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）直線l交C于A，B兩點，D，B關于x軸對稱，直線與x軸交于點E，且點D為線段的中點，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意得，根據橢圓定義知動點Q的軌跡是橢圓，求出后可得橢圓方程；

（2）聯立直線與橢圓，根據韋達定理以及中點公式可解得，從而可得直線l的方程.

（1）直線l：（）過定點

由條件可得，又

所以 ，且，

根據橢圓定義得動點Q的軌跡是以為焦點的橢圓

且，，，

所以，

故C的方程為：.

（2）直線l：，代入，消去并整理得，

設、，

則，①.②

因為D為的中點，且，

因為，即，

所以，所以③

①③聯立得，，代入②得

，

解得，所以，

所以直線l的方程為.