【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).
(1)證明:BE∥平面ADP;
(2)求直線BE與平面PDB所成角的正弦值.
【答案】
(1)證明:如圖,取PD中點(diǎn)M,連接EM,AM.
∵E,M分別為PC,PD的中點(diǎn),∴EM∥DC,且EM= DC,
又由已知,可得EM∥AB,且EM=AB,
∴四邊形ABEM為平行四邊形,∴BE∥AM.
∵AM平面PAD,BE平面PAD,
∴BE∥平面ADP.
(2)解:連接BM,由(1)有CD⊥平面PAD,得CD⊥PD,
而EM∥CD,∴PD⊥EM.
又∵AD=AP,M為PD的中點(diǎn),∴PD⊥AM,
∴PD⊥BE,∴PD⊥平面BEM,
∴平面BEM⊥平面PBD.
∴直線BE在平面PBD內(nèi)的射影為直線BM,
∵BE⊥EM,∴∠EBM為銳角,
∴∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角.
依題意,有PD=2 ,而M為PD中點(diǎn),
∴AM= ,進(jìn)而BE= .
∴在直角三角形BEM中,sin∠EBM= = = .
∴直線BE與平面PDB所成角的正弦值為 .
【解析】(1)取PD中點(diǎn)M,連接EM,AM,推導(dǎo)出四邊形ABEM為平行四邊形,由此能證明BE∥平面ADP.(2)連接BM,推導(dǎo)出PD⊥EM,PD⊥AM,從而直線BE在平面PBD內(nèi)的射影為直線BM,∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角,由此能求出直線BE與平面PDB所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)令,區(qū)間, 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。
(ⅰ)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(ⅱ)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的兩個(gè)極值分別為和,
求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(0,﹣2),橢圓E: =1(a>b>0)的離心率為 ,F(xiàn)是橢圓的焦點(diǎn),直線AF的斜率為 ,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求E的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),求l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且Sn=n(n+1),
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an
(2)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知線段AB長度為a(a為定值),在其上任意選取一點(diǎn)M,在AB的同一側(cè)分別以AM、MB為底作正方形AMCD、MBEF,⊙P和⊙Q是這兩個(gè)正方形的外接圓,它們交于點(diǎn)M、N.試以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.
(1)證明:不論點(diǎn)M如何選取,直線MN都通過一定點(diǎn)S;
(2)當(dāng) 時(shí),過A作⊙Q的割線,交⊙Q于G、H兩點(diǎn),在線段GH上取一點(diǎn)K,使 = 求點(diǎn)K的軌跡.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè){an}為單調(diào)遞增數(shù)列,首項(xiàng)a1=4,且滿足an+12+an2+16=8(an+1+an)+2an+1an , n∈N* , 則a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2n﹣1﹣a2n=( )
A.﹣2n(2n﹣1)
B.﹣3n(n+3)
C.﹣4n(2n+1)
D.﹣6n(n+1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下三個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中:
①設(shè)A,B為兩個(gè)定點(diǎn),K為非零常數(shù),若|PA|﹣|PB|=K,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線.
②方程2x2﹣5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率
③雙曲線 與橢圓 +y2=1有相同的焦點(diǎn).
④已知拋物線y2=2px,以過焦點(diǎn)的一條弦AB為直徑作圓,則此圓與準(zhǔn)線相切
其中真命題為(寫出所以真命題的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某工廠每天固定成本是4萬元,每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加100元,工廠每件產(chǎn)品的出廠價(jià)定為元時(shí),生產(chǎn)件產(chǎn)品的銷售收入是(元),為每天生產(chǎn)件產(chǎn)品的平均利潤(平均利潤=總利潤/總產(chǎn)量).銷售商從工廠每件元進(jìn)貨后又以每件元銷售, ,其中為最高限價(jià), 為銷售樂觀系數(shù),據(jù)市場調(diào)查, 是由當(dāng)是, 的比例中項(xiàng)時(shí)來確定.
(1)每天生產(chǎn)量為多少時(shí),平均利潤取得最大值?并求的最大值;
(2)求樂觀系數(shù)的值;
(3)若,當(dāng)廠家平均利潤最大時(shí),求與的值.
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