Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，且過點（）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點C（-1，0）且斜率為k的直線l與橢圓相交于不同的兩點A，B，試問在x軸上是否存在點M，使是與k無關的常數(shù)？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵橢圓離心率為，∴=，∴．…（1分）
∵橢圓過點（），代入橢圓方程，得．…（2分）
∴．…（4分）
∴橢圓方程為，即x²+3y²=5．…（5分）
（2）在x軸上存在點M（，0），使是與k無關的常數(shù)．…（6分）
證明：假設在x軸上存在點M（m，0），使是與k無關的常數(shù)，
∵直線L過點C（-1，0）且斜率為k，∴L方程為y=k（x+1），
代入方程E：x²+3y²=5，得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0；
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），則x₁+x₂=-，x₁x₂= …（8分）
∵=（x₁-m，y₁），=（x₂-m，y₂），
∴=（k²+1）x₁x₂+（k²-m）（x₁+x₂）+k²+m²+=…（10分）
設常數(shù)為t，則．…（11分）
整理得（3m²+6m-1-3t）k²+m²-t=0對任意的k恒成立，
∴，解得m=，…（13分）
即在x軸上存在點M（，0），使是與k無關的常數(shù)．…（14分）
分析：（1）利用橢圓的離心率為，且過點（），求得橢圓的幾何量，即可求橢圓的方程；
（2II）假設存在點M符合題意，設AB為y=k（x+1），代入橢圓方程可得關于x的一元二次方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），由利用韋達定理，及是與k無關的常數(shù)，建立方程組，即可求得結論．
點評：本題考查了直線與圓錐曲線的綜合應用問題，也考查了橢圓的標準方程及其幾何性質，考查向量知識的運用，考查了一定的計算能力．