Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，且過點(diǎn)（）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點(diǎn)C（-1，0）且斜率為k的直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，試問在x軸上是否存在點(diǎn)M，使是與k無關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵橢圓離心率為，∴=，∴．…（1分）
∵橢圓過點(diǎn)（），代入橢圓方程，得．…（2分）
∴．…（4分）
∴橢圓方程為，即x²+3y²=5．…（5分）
（2）在x軸上存在點(diǎn)M（，0），使是與k無關(guān)的常數(shù)．…（6分）
證明：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M（m，0），使是與k無關(guān)的常數(shù)，
∵直線L過點(diǎn)C（-1，0）且斜率為k，∴L方程為y=k（x+1），
代入方程E：x²+3y²=5，得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），則x₁+x₂=-，x₁x₂= …（8分）
∵=（x₁-m，y₁），=（x₂-m，y₂），
∴=（k²+1）x₁x₂+（k²-m）（x₁+x₂）+k²+m²+=…（10分）
設(shè)常數(shù)為t，則．…（11分）
整理得（3m²+6m-1-3t）k²+m²-t=0對(duì)任意的k恒成立，
∴，解得m=，…（13分）
即在x軸上存在點(diǎn)M（，0），使是與k無關(guān)的常數(shù)．…（14分）
分析：（1）利用橢圓的離心率為，且過點(diǎn)（），求得橢圓的幾何量，即可求橢圓的方程；
（2II）假設(shè)存在點(diǎn)M符合題意，設(shè)AB為y=k（x+1），代入橢圓方程可得關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），由利用韋達(dá)定理，及是與k無關(guān)的常數(shù)，建立方程組，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題，也考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查了一定的計(jì)算能力．