Question

【題目】（本小題滿分14分）

已知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，定義：

，

．

其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值．若存在最小正整數(shù)，使得對任意的成立，則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”．

（Ⅰ）若，，試寫出，的表達式；

（Ⅱ）已知函數(shù)，，試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”，如果是，求出對應的；如果不是，請說明理由；

（Ⅲ）已知，函數(shù)是上的2階收縮函數(shù)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】解：（1）由題意可得：，。

（2），，

當時，

當時，

當時，

綜上所述，。

即存在，使得是[-1,4]上的“4階收縮函數(shù)”。

（3），令得或。

函數(shù)的變化情況如下：

x		0		2
	-	0	+	0	-
		0		4

令得或。

（i）當時，在上單調(diào)遞增，因此，，。因為是上的“二階收縮函數(shù)”，所以，

①對恒成立；

②存在，使得成立。

①即：對恒成立，由解得或。

要使對恒成立，需且只需。

②即：存在，使得成立。

由解得或。

所以，只需。

綜合①②可得。

（i i）當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

因此，，，，

顯然當時，不成立。

（i i i）當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，，，，

顯然當時，不成立。

綜合（i）（i i）（i i i）可得：

【解析】

試題（1）根據(jù)的最大值可求出，的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)，上的值域，先求出，的解析式，再根據(jù)求出k的取值范圍得到答案.(3)先對函數(shù)求導判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而寫出，的解析式，然后再由求出k的取值范圍.

試題解析：

（1）由題意可得：，，，.

（2），，

當時，，∴，；

當時，，∴，∴；

當時，，∴，

綜上所述，.即存在，使得是上的“4階收縮函數(shù)”.

（3），令得或.函數(shù)的變化情況如下：

令得或.

（1）當時，在上單調(diào)遞增，因此，，.因為是上的“二階收縮函數(shù)”，所以，

①，對恒成立；

②存在，使得成立.

①即：對恒成立，由解得或.

要使對恒成立，需且只需.

②即：存在，使得成立.

由解得或.所以，只需.

綜合①②可得

（2）當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，，，，，顯然當時，不成立，

（3）當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，，，，，顯然當時，不成立.

綜合（1）（2）（3）可得：.