【題目】已知函數(shù).

1)若,求的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

2)若,,證明:,.

【答案】(1)(2)見解析

【解析】

1)將a的值代入f(x),再求導(dǎo)得,在定義域內(nèi)討論函數(shù)單調(diào)性,再由函數(shù)的最小值正負(fù)來(lái)判斷它的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)把a的值代入f(x),將整理化簡(jiǎn)為,即證明該不等式在上恒成立,構(gòu)造新的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可知其在定義域上的最小值,構(gòu)造函數(shù),由導(dǎo)數(shù)可知其定義域上的最大值,二者比較大小,即得證。

1)解:因?yàn)?/span>,所以.

,得;令,得,

所以,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

,,

所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

2)證明:因?yàn)?/span>,從而.

又因?yàn)?/span>,

所以要證恒成立,

即證,恒成立,

即證,恒成立.

設(shè),則,

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.

所以.

設(shè),則,

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.

所以,所以,

所以恒成立,

,.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】華中師大附中中科教處為了研究高一學(xué)生對(duì)物理和數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是否與性別有關(guān),從高一年級(jí)抽取60,名同學(xué)(男同學(xué)30名,女同學(xué)30名),給所有同學(xué)物理題和數(shù)學(xué)題各一題,讓每位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答.選題情況如下表:(單位:人)

(1)在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%是條件下,能否判斷高一學(xué)生對(duì)物理和數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與性別有關(guān)?

(2)經(jīng)過(guò)多次測(cè)試后發(fā)現(xiàn),甲每次解答一道物理題所用的時(shí)間5—8分鐘,乙每次解答一道物理題所用的時(shí)間為6—8分鐘,現(xiàn)甲、乙解同一道物理題,求甲比乙先解答完的概率;

(3)現(xiàn)從選擇做物理題的8名女生中任意選取兩人,對(duì)題目的解答情況進(jìn)行全程研究,記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】(本小題滿分14分)

已知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷,定義:

,

其中,表示函數(shù)上的最小值,表示函數(shù)上的最大值.若存在最小正整數(shù),使得對(duì)任意的成立,則稱函數(shù)上的階收縮函數(shù)

)若,,試寫出的表達(dá)式;

)已知函數(shù),,試判斷是否為上的階收縮函數(shù),如果是,求出對(duì)應(yīng)的;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;

)已知,函數(shù)上的2階收縮函數(shù),求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,分別過(guò)橢圓左、右焦點(diǎn)的動(dòng)直線相交于點(diǎn),與橢圓分別交于不同四點(diǎn),直線的斜率滿足, 已知軸重合時(shí), .

1)求橢圓的方程;

2)是否存在定點(diǎn)使得為定值,若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo)并求出此定值,若不存在,

說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知,,.

(Ⅰ)若,求的極值;

(Ⅱ)若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為,記,證明:

【答案】(Ⅰ)極大值為,無(wú)極小值;證明見解析.

【解析】分析:(Ⅰ)先判斷函數(shù)上的單調(diào)性,然后可得當(dāng)時(shí),有極大值,無(wú)極小值.不妨設(shè),由題意可得,又由條件得,構(gòu)造,令,則,利用導(dǎo)數(shù)可得,故得,,所以

詳解:(Ⅰ),

,

,

且當(dāng)時(shí),,即上單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí),,即上單調(diào)遞減,

∴當(dāng)時(shí),有極大值,且無(wú)極小值.

(Ⅱ)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為,不妨設(shè)

,

,

,

,則

上單調(diào)遞減,

,

,

,

,

點(diǎn)睛:(1)研究方程根的情況,可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大(。┲、函數(shù)的變化趨勢(shì)等根據(jù)題目要求,畫出函數(shù)圖象的大體圖象,然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題,可以使得問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)

(2)證明不等式時(shí)常采取構(gòu)造函數(shù)的方法,然后通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性,借助函數(shù)的最值進(jìn)行證明

型】解答
結(jié)束】
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù),.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為:

(Ⅰ)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;

Ⅱ)設(shè)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn),,的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】互聯(lián)網(wǎng)正在改變著人們的生活方式,在日常消費(fèi)中手機(jī)支付正逐漸取代現(xiàn)金支付成為人們首選的支付方式. 某學(xué)生在暑期社會(huì)活動(dòng)中針對(duì)人們生活中的支付方式進(jìn)行了調(diào)查研究. 采用調(diào)查問(wèn)卷的方式對(duì)100名18歲以上的成年人進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)共有60人以手機(jī)支付作為自己的首選支付方式,在這60人中,45歲以下的占,在仍以現(xiàn)金作為首選支付方式的人中,45歲及以上的有30人.

(1)從以現(xiàn)金作為首選支付方式的40人中,任意選取3人,求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率;

(2)某商家為了鼓勵(lì)人們使用手機(jī)支付,做出以下促銷活動(dòng):凡是用手機(jī)支付的消費(fèi)者,商品一律打八折. 已知某商品原價(jià)50元,以上述調(diào)查的支付方式的頻率作為消費(fèi)者購(gòu)買該商品的支付方式的概率,設(shè)銷售每件商品的消費(fèi)者的支付方式都是相互獨(dú)立的,求銷售10件該商品的銷售額的數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù) ,(其中 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù), …….

1)令,若對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的值;

2)在(1)的條件下,設(shè)為整數(shù),且對(duì)于任意正整數(shù), ,求的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐底面,為直角,,,分別為的中點(diǎn).

(1)試證:平面;

(2)求與平面所成角的大。

(3)求三棱錐的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知10件不同產(chǎn)品中有3件是次品,現(xiàn)對(duì)它們一一取出(不放回)進(jìn)行檢測(cè),直至取出所有次品為止.

(1)若恰在第5次取到第一件次品,第10次才取到最后一件次品,則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)有多少?

(2)若恰在第6次取到最后一件次品,則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少?

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