Question

已知函數(shù)f（x）=

ax

x2+b

在x=1處取得極值2．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若直線l與f（x）的圖象相切，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由題意對函數(shù)求導，然后利用極值的概念列出a，b的方程，在求解即可；
（2）由題意應該先求具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用已知的條件及集合的思想，建立的m取值范圍的不等式組求解即可；
（3）由條件知，過f（x）的圖形上一點P（x₀，y₀）的切線l的斜率k為：k=4[

2

(1+x02)2

-

1

1+x02

]，換元進而可求直線l的斜率k的取值范圍．

解答： 解：（1）求導，f′（x）=

a(-x2+b)

(x2+b)2

，
又f（x）在x=1處取得極值2，
所以

f′(1)= a(b-1) (b+1)2 =0 a b+1 =2

，
解得a=4，b=1
所以f（x）=

4x

x2+1

．
（2）因為f′(x)=

-4(x+1)(x-1)

(x2+1)2

，
又f（x）的定義域是R，所以由f'（x）＞0，
得-1＜x＜1．所以f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
在（-∞，-1]和[1，+∞）上單調(diào)遞減．
①當f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上單調(diào)遞增，
則

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

，解得-1＜m≤0；
②當f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上單調(diào)遞減，
則

2m+1≤-1 2m+1＞m

或

m≥1 2m+1＞m

，解得m≥1．
綜上，實數(shù)m的取值范圍是-1＜m≤0或m≥1．
（3）f′(x)=

-4(x+1)(x-1)

(x2+1)2

由條件知，過f（x）的圖形上一點P（x₀，y₀）的切線l的斜率k為：k=4[

2

(1+x02)2

-

1

1+x02

]
令t=

1

1+x02

，則t∈（0，1]
此時，k=8(t-

1

4

)2-

1

2

根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)知：當t=

1

4

時，k_min=-

1

2

，
當t=1時，k_max=4．
所以，直線l的斜率k的取值范圍是[-

1

2

，4]．

點評：本題以函數(shù)為載體，考查導數(shù)的運用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了導數(shù)的幾何意義，還考查了數(shù)學中常用的分類討論的思想．