Question

若x，y滿足約束條件

x≥0 y≥0 y+x≤4

，P為上述不等式組表示的平面區(qū)域，則
（1）目標(biāo)函數(shù)z=y-x的最小值為

 

；
（2）當(dāng)b從-4連續(xù)變化到

 

時(shí)，動(dòng)直線y-x=b掃過P中的那部分區(qū)域的面積為7．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由z=y-x得y=x+z，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分OAB）：
平移直線y=x+z由圖象可知當(dāng)直線y=x+z經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）時(shí)，直線y=x+z的截距最小，此時(shí)z也最小，
將A（4，0）代入目標(biāo)函數(shù)z=y-x，
得z=-4．
（2）∵A（4，0），B（0，4），∴三角形OAB的面積S=

1

2

×4×4=8，
當(dāng)直線y-x=b過原點(diǎn)時(shí)，對應(yīng)的面積為三角形面積的一半，為4，
若動(dòng)直線y-x=b掃過P中的那部分區(qū)域的面積為7．
則直線y-x=b對應(yīng)的圖形BCD的面積為1，且0＜b＜4，
當(dāng)x=0時(shí)，y=b，即D（0，b），
由

y+x=4 y-x=b

，解得

x= 4-b 2 y= 4+b 2

，即C（

4-b

2

，

4+b

2

），
則三角形BCD的面積S=

1

2

×（4-b）×

4-b

2

=1，
即（4-b）²=4，解得b=2或b=6（舍去），
故答案為：-4，2

點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．