Question

17．已知O是銳角△ABC的外心，若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$（x，y∈R），則x+y的取值范圍為（-∞，-1）．

Answer 1

分析 能夠判斷O在△ABC內(nèi)部，從而有x，y＜0，可設外接圓半徑為1，對$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$兩邊平方即可得出1=x²+y²+2xycosθ，根據(jù)cosθ＜1即可得出1＜（x+y）²，再根據(jù)x，y＜0，從而得到x+y的取值范圍．

解答 解：∵O是銳角△ABC的外心；
∴O在三角形內(nèi)部，不妨設銳角△ABC的外接圓的半徑為1，則x＜0，y＜0；
${\overrightarrow{OC}}^{2}={x}^{2}{\overrightarrow{OA}}^{2}+2xy\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$$+{y}^{2}{\overrightarrow{OB}}^{2}$，設向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$夾角為θ，則：
1=x²+y²+2xycosθ＜x²+y²+2xy=（x+y）²；
∴x+y＜-1，或x+y＞1（舍去）；
∴x+y的范圍為（-∞，-1）．
故答案為：（-∞，-1）．

點評 考查三角形外心的定義，向量數(shù)量積的計算公式，注意x，y＜0這個條件．