Question

平面四邊形ABCD中，AD=AB=

2

，CD=CB=

5

，且AD⊥AB，現(xiàn)將△ABD沿著對(duì)角線BD翻折成△A′BD，則在△A′BD折起至轉(zhuǎn)到平面BCD內(nèi)的過(guò)程中，直線A′C與平面BCD所成的最大角的正切值為（　�。�

• A、1
• B、

  1

  2

• C、

  3

  3

• D、

  3

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，由題設(shè)條件推導(dǎo)出OA=1，OC=2．將△ABD沿著對(duì)角線BD翻折成△A′BD，當(dāng)A′C與以O(shè)為圓心，OA′為半徑的圓相切時(shí)，直線A′C與平面BCD所成角最大，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：如圖，平面四邊形ABCD中，
連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，
∵AD=AB=

2

，CD=CB=

5

，且AD⊥AB，
∴BD=

2+2

=2，AC⊥BD，
∴BO=OD=1，
∴OA=

( 2 )2-1

1，OC=

( 5 )2-1

=2．
將△ABD沿著對(duì)角線BD翻折成△A′BD，
當(dāng)A′C與以O(shè)為圓心，OA′為半徑的圓相切時(shí)，
直線A′C與平面BCD所成角最大，
此時(shí)，Rt△OA′C中，OA′=OA=1，OC=2，
∴∠OCA′=30°，
∴直線A′C與平面BCD所成的最大角為30°，其正切值為tan30°=

3

3

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的正弦值的最大值的求法，解題要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．