Question

（2013•青島二模）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₁+a₂+…+a_n-1-a_n=-1（n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）設bn=

an+1	(an+1)(an+1+1)

(n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁+a₂+…+a_n-1-a_n=-1可得a₁+a₂+…+a_n-a_n+1=-1，兩式相減可得a_n與a_n-1的遞推公式，結合等比數(shù)列可求a_n
（Ⅱ）由（Ⅰ）中所求a_n可求b_n，利用裂項即可求解

解答：解：（Ⅰ）由題a₁+a₂+…+a_n-1-a_n=-1…①
∴a₁+a₂+…+a_n-a_n+1=-1…②
由①-②得：a_n+1-2a_n=0，即

an+1

an

=2(n≥2)…（3分）
當n=2時，a₁-a₂=-1，
∵a₁=1，
∴a₂=2，

a2

a1

=2
所以，數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列
故an=2n-1（n∈N^*）…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）an=2n-1（n∈N^*）
所以bn=

an+1

(an+1)(an+1+1)

=

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2(

1

2n-1+1

-

1

2n+1

)…（9分）
所以Tn=b1+b2+…+bn=2[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1+1

-

1

2n+1

)]
=2(

1

2

-

1

2n+1

)=

2n-1

2n+1

…（12分）

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構造等比數(shù)列求解通項及數(shù)列的裂項求和方法的應用．