Question

已知數(shù)列{a_n}（n∈N₊）是各項均為正數(shù)且公比不等于1的等比數(shù)列，對于函數(shù)y=f（x），若數(shù)列{lnf（a_n）}為等差數(shù)列，則稱函數(shù)f（x）為“保比差數(shù)列函數(shù)”，現(xiàn)有定義在（0，+∞）上的五個數(shù)列：
①f（x）=

1

x

；②f（x）=e^x；③f（x）=

x

；④y=kx（k＞0）；⑤y=ax²+b（a＞0且b＞0），
則為“保比差數(shù)列函數(shù)”的是

 

．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：充分運用等比數(shù)列的定義，lnf（a_n）-lnf（a_n-1）=ln

f(an)

f(an-1)

=d．

f(an)

f(an-1)

=e^d=常數(shù)，
判斷{

f(an)

f(an-1)

=e^d}為等比數(shù)列，
再分別運用代數(shù)運算論證判斷，緊扣給定的定義．

解答： 解：設數(shù)列的公比q，若lnf（a_n）-lnf（a_n-1）=ln

f(an)

f(an-1)

=d.

f(an)

f(an-1)

=e^d=常數(shù)，
∴{

f(an)

f(an-1)

=e^d}為等比數(shù)列．

①若f（x）=

1

x

，則f（a_n）=

1

an

，所以.

f(an)

f(an-1)

=

an-1

an

=

1

q

，是等比數(shù)列，①為“保比差數(shù)列函數(shù)”；
②f（x）=e^x，.

f(an)

f(an-1)

=e an-an-1不是常數(shù)，②不為“保比差數(shù)列函數(shù)”；
③f（x）=

x

，.

f(an)

f(an-1)

=

(    )

(    )

an an-1

=

q

=常數(shù)，∴{

f(an)

f(an-1)

=e^d}為等比數(shù)列，③為“保比差數(shù)列函數(shù)”；
④y=kx（k＞0）；.

f(an)

f(an-1)

=

an

an-1

=q=常數(shù)，∴{

f(an)

f(an-1)

=e^d}為等比數(shù)列．，④為“保比差數(shù)列函數(shù)”；
⑤y=ax²+b（a＞0且b＞0），.

f(an)

f(an-1)

=

a(an)2+b

a(an-1)2+b

≠常數(shù)，∴{

f(an)

f(an-1)

=e^d}為等比數(shù)列，⑤不為“保比差數(shù)列函數(shù)”；
故答案為：①③④

點評：本題很新穎，融合了閱讀分析能力，考查了對等比數(shù)列的定義，對數(shù)等知識的運用，綜合性較強．