Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2lnx與g（x）=x+

a

x

有相同的極值點．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若對于?x₁，x₂∈[

1

e

，3]，不等式

f(x1)-g(x2)

k-1

≤1恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)f（x）的極值點x₀，再令g′（x₀）=0即可得出a的值，再進(jìn)行驗證即可；
（II）通過對k-1分正負(fù)討論，把要證明的不等式變形等價轉(zhuǎn)化，再利用導(dǎo)數(shù)研究其極值與最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=-2x+

2

x

=-

2(x+1)(x-1)

x

（x＞0），
由

f′(x)＞0 x＞0

得0＜x＜1；
由

f′(x)＜0 x＞0

得x＞1．
∴f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)，∴x=1是函數(shù)f（x）的極大值點．
∵g（x）=x+

a

x

，∴g′（x）=1-

a

x2

，
又∵函數(shù)f（x）與g（x）=x+

a

x

有相同極值點，
∴x=1是函數(shù)g（x）的極值點，∴g′（1）=1-a=0，解得a=1．
經(jīng)檢驗，當(dāng)a=1時，函數(shù)g（x）取到極小值，符合題意．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x）=-x²+2lnx-x-

1

x

，x∈[

1

e

，3]．
則h′(x)=-2x+

2

x

-1+

1

x2

=-

(x+1)(2x+1)(x-1)

x2

，令h′（x）=0，解得x=1．
當(dāng)x∈[

1

e

，1)時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（1，3]時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時，函數(shù)h（x）取得極大值h（1）=-3．h（3）=-

37

3

+2ln3，h(

1

e

)=-e-2-

1+e

e2

，可知：h（3）＜h(

1

e

)．
①當(dāng)k-1＞0時，對于?x₁，x₂∈[

1

e

，3]，不等式

f(x1)-g(x2)

k-1

≤1恒成立，
等價于k-1≥[f（x₁）-g（x₂）]_max，∵f（x₁）-g（x₂）≤f（1）-g（1）=-3，
∴k≥-3+1=-2，又k＞1，∴k＞1．
②當(dāng)k-1＜0時，對于?x₁，x₂∈[

1

e

，3]，不等式

f(x1)-g(x2)

k-1

≤1恒成立，
等價于k-1≤[f（x₁）-g（x₂）]_min，
∵f（x₁）-g（x₂）≥f（3）-g（3）=-

37

3

+2ln3，
∴k≤-

34

3

+2ln3，
又∵k≤1，∴k≤-

34

3

+2ln3．
綜上可知：實數(shù)k的取值范圍是(-∞，-

34

3

+ln3]∪（1，+∞）．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、證明不等式，考查了分類討論的思想方法，考查了計算能力，屬于難題．