Question

13．設(shè)$\left\{\begin{array}{l}{x=f′（t）}\\{y=tf′（t）-f（t）}\end{array}\right.$，f（t）三階可導(dǎo)，且f″（t）≠0．求$\frac{rf75d3b^{3}y}{d{x}^{3}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)公式①$\frac{dy}{dx}$=$\frac{dy/dt}{dx/dt}$；②$\frac{d^2y}{dx^2}$=$\frac{d（\frac{dy}{dt}）/dt}{dx/dt}$；③$\frac{d^3y}{dx^3}$=$\frac{d（\frac{d^2y}{dt}）/dt}{dx/dt}$運(yùn)算．

解答 解：根據(jù)題意，x=f'（t），y=tf'（t）-f（t），所以，
$\frac{dx}{dt}$=f''（t），$\frac{dy}{dt}$=f'（t）+tf''（t）-f'（t）=tf''（t），
所以，$\frac{dy}{dx}$=$\frac{dy/dt}{dx/dt}$=t，
因此，$\frac{d^2y}{dx^2}$=$\frac{d（\frac{dy}{dt}）/dt}{dx/dt}$=$\frac{1}{f''（t）}$，
所以，$\frac{d^3y}{dx^3}$=$\frac{d（\frac{d^2y}{dt}）/dt}{dx/dt}$=$\frac{-\frac{f'''（t）}{[f''（t）]^2}}{f''（t）}$=-$\frac{f'''（t）}{[f''（t）]^3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了微分的運(yùn)算，應(yīng)用了導(dǎo)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算法則，屬于中檔題．