Question

19．已知二次函數(shù)f（x）同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：
（1）f（1+x）=f（1-x）；
（2）f（x）的最大值為16；
（3）方程f（x）=0的兩根的平方和等于18．求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 由二次函數(shù)f（x）同時(shí)滿足下列兩個(gè)個(gè)條件：（1）f（1+x）=f（1-x）；（2）f（x）的最大值為16；可設(shè)f（x）=a（x-1）²+16（a＜0）．又f（x）=0的兩根的平方和等于18．利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出a．

解答 解：由二次函數(shù)f（x）同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：（1）f（1+x）=f（1-x）；（2）f（x）的最大值為16；
說明其對稱軸為x=1，拋物線開口向下．
可設(shè)f（x）=a（x-1）²+16（a＜0）．
化為f（x）=ax²-2ax+a+16，
設(shè)f（x）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁，x₂．
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=$\frac{a+16}{a}$．（*）
∵f（x）=0的兩根的平方和等于18，∴4-2•$\frac{a+16}{a}$=18，解得a=-2．
∴f（x）=-2（x-1）²+16．

點(diǎn)評 本題綜合考查了二次函數(shù)的對稱性、最值及其零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于基礎(chǔ)題．