Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，已知對任意的n∈N^*，點（n，S_n）均在函數(shù)y=2^x+r的圖象上．
（Ⅰ）求r的值；
（Ⅱ）記b_n=log₂2a₁+log₂2a₂+…+log₂2a_n，求數(shù)列{

1

bn

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）解法一：由點（n，S_n）均在函數(shù)y=2^x+r的圖象上，可得Sn=2n+r．當(dāng)n=1時，a₁=2+r，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1．由于{a_n}為等比數(shù)列，利用通項公式可得a₂=a₁q即可得出．
解法二：S_n=2ⁿ+r，當(dāng)n=1時，a₁=2+r，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1．a(chǎn)₂=2，a₃=4．利用

a

2 2

=a1a3即可得出．
（II）由（Ⅰ）得an=2n-1．可得log₂2a_n=n．利用等差數(shù)列的通項公式可得b_n=log₂2a₁+log₂2a₂+…+log₂2a_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

.

1

bn

=

2

n

-

2

n+1

，利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）解法一：∵點（n，S_n）均在函數(shù)y=2^x+r的圖象上，
∴Sn=2n+r．
當(dāng)n=1時，a₁=2+r，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ+r-2^n-1-r=2^n-1．
又∵{a_n}為等比數(shù)列，∴2+r=2^1-1=1，
∴r=-1．
解法二：S_n=2ⁿ+r，
當(dāng)n=1時，a₁=2+r，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ+r-2^n-1-r=2^n-1．
a₂=2，a₃=4．
由

a

2 2

=a1a3，∴2²=4（2+r）．
解得r=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=2n-1．
∴l(xiāng)og₂2a_n=log22n=n．
∴b_n=log₂2a₁+log₂2a₂+…+log₂2a_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

．
∴

1

bn

=

2

n

-

2

n+1

，
其前n項和T_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

2n

n+1

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的定義及其通項公式、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．