Question

設(shè)函數(shù) ()．
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）試通過研究函數(shù)（）的單調(diào)性證明：當(dāng)時，；
（Ⅲ）證明：當(dāng),且均為正實數(shù),  時，．

Answer 1

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明過程詳見解析；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，討論真數(shù)與1的大小來判斷的正負；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性證明大小關(guān)系；（3）利用柯西不等式列出不等式，兩邊取冪，兩邊去倒數(shù)，利用不等式的性質(zhì)證明.
試題解析：（Ⅰ）由，有，    1分
當(dāng)，即時，單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時，單調(diào)遞減；
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．      3分
（Ⅱ）設(shè)（），則，5分
由（Ⅰ）知在單調(diào)遞減，且，
∴在恒成立，故在單調(diào)遞減，
又，∴，得，
∴，即：．8分
（Ⅲ）由，及柯西不等式：

，                           
所以，
.     11分
又，由（Ⅱ）可知，
即，即.
則.
故. 14分