Question

18．設(shè)a、b、c、d是常數(shù)，若f（θ）=acosθ+bsinθ，g（θ）=ccosθ+dsinθ，當(dāng)θ∈[0，2π]時(shí)，f（θ）、g（θ）、f（θ）+g（θ）的最大值分別為3、5、6，則ac+bd=1，f（θ）g（θ）的最大值為8．

Answer 1

分析 由輔助角公式：acosθ+bsinθ=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（θ+α），結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：f（θ）=acosθ+bsinθ=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（θ+α），
g（θ）=ccosθ+dsinθ=$\sqrt{{c}^{2}+m08yuuo^{2}}$sin（θ+β），
f（θ）+g（θ）=（a+c）cosθ+（b+d）sinθ=$\sqrt{（a+c）^{2}+（b+d）^{2}}$sin（θ+γ），
即有$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=3，$\sqrt{{c}^{2}+qwyemam^{2}}$=5，$\sqrt{（a+c）^{2}+（b+d）^{2}}$=6，
將前兩式平方后，代入第三式，可得ac+bd=1；
f（θ）g（θ）=（acosθ+bsinθ）（ccosθ+dsinθ）=accos²θ+bdsin²θ+（bc+ad）sinθcosθ
=$\frac{ac（1+cos2θ）}{2}$+$\frac{bd（1-cos2θ）}{2}$+$\frac{bc+ad}{2}$sin2θ
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（ac-bd）cos2θ+$\frac{bc+ad}{2}$sin2θ=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{（ac-bd）^{2}+（bc+ad）^{2}}$sin（2θ+φ），
當(dāng)sin（2θ+φ）=1時(shí)，取得最大值$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{（ac-bd）^{2}+（bc+ad）^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}{c}^{2}+^{2}wusigiq^{2}+^{2}{c}^{2}+{a}^{2}k4qec6g^{2}}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{a}^{2}+^{2}）（{c}^{2}+mqs6uk6^{2}）}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{9×25}$=8．
故答案為：1，8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，注意運(yùn)用輔助角公式，以及正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．