Question

2．已知二次函數(shù)y=f（x）在（-∞，2]上是增函數(shù)，在[2，+∞）上是減函數(shù)，圖象的頂點在直線y=x-1上，并且圖象經(jīng)過點（-1，-8）．
（1）求二次函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若f（x）+m＜0對x∈R恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知設(shè)二次函數(shù)的頂點式為y=a（x-2）²+1，將點（-1，-8）代入代入求出a值，可得二次函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若f（x）+m＜0對x∈R恒成立，m＜-f（x）對x∈R恒成立，求最小值，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=f（x）在（-∞，2]上是增函數(shù)，在[2，+∞）上是減函數(shù)，
∴對稱軸為直線x=2，
∵圖象的頂點在直線y=x-1上，
∴頂點坐標為（2，1），
設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=a（x-2）²+1，
將點（-1，-8）代入得：a=-1
∴二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=-（x-2）²+1；
（2）∵f（x）+m＜0對x∈R恒成立，
∴m＜-f（x）對x∈R恒成立，
∵-f（x）=（x-2）²-1≥-1，
∴m＜-1．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．