Question

【題目】已知函數(shù)(,且),且.

(1)求實(shí)數(shù)的值;

(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明

(3)若函數(shù)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)2(2)奇函數(shù).見(jiàn)解析 (3)或.

【解析】

(1)代入求解即可.

(2)由(1)化簡(jiǎn)可得,再分析與的關(guān)系判定即可.

(3)分析可知有實(shí)根,再換元令,分析,的取值范圍進(jìn)而求得的取值范圍即可.

(1)因?yàn)?/span>

解得

(2)是奇函數(shù).

由得:

故,所以是奇函數(shù)

(3)方法一:

代入可得

因?yàn)?/span>有零點(diǎn),所以有實(shí)根.

顯然不是的實(shí)根,所以有實(shí)根.

設(shè),,.因?yàn)?/span>.

①當(dāng)時(shí),,所以,

所以

②當(dāng)時(shí),,

所以

綜上,的值域?yàn)?/span>

所以,當(dāng)時(shí),有實(shí)根,

即有零點(diǎn)

方法二:代入可得

因?yàn)?/span>有零點(diǎn),所以有實(shí)根.

所以有實(shí)根.

顯然,時(shí)上式不成立,所以有實(shí)根

因?yàn)?/span>,

所以

所以或.

所以,當(dāng)時(shí),有實(shí)根.

即有零點(diǎn)