在直角坐標系xOy中，中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C上的點（2
2
，1）到兩焦點的距離之和為4
3
．
（1）求橢圓C 的方程；（2）過橢圓C 的右焦點F作直線l與橢圓C分別交于A、B兩點，其中點A在x軸下方，且
AF
=3
FB
．求過O、A、B三點的圓的方程．
分析：（1）由橢圓的定義得2a=4
3
，從而求出a的值，然后將點（2
2
，1）代入橢圓的標準方程，求出b，從而求出橢圓的方程；
（2）分別設(shè)出A、B的坐標，利用
AF
=3
FB
得到A、B坐標之間的關(guān)系，然后將A、B的坐標代入橢圓的方程，通過解方程即可求得A、B的坐標，最后設(shè)出所求圓的方程，將O、A、B的坐標代入，解方程即可．
解答：解：（1）由題意，設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），則2a=4
3
，a=2
3
．
∵點（2
2
，1）在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1上，
∴
8
12
+
1
b2
=1，解得b=
3
，
∴所求橢圓的方程為
x2
12
+
y2
3
=1．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＜0，y2＞0），點F的坐標為F（3，0），
由
AF
=3
FB
，得3-x1=3（x2-3），-y1=3y2，即x1=-3x2+12，y1=-3y2①．
又A、B在橢圓C上，
∴
(-3x2+12)2
12
+
(-3y2)2
3
=1，
x22
12
+
y22
3
=1，
解得x2=
10
3
，y2=
2
3
，
∴B（
10
3
，
2
3
），代入①得A（2，-
2
）．
設(shè)過O、A、B三點的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，
則將O、A、B三點的坐標代入得
F=0，6+2D-
2
E+F=0，
102
9
+
10
3
D+
2
3
E+F=0，
解得D=-
10
3
，E=-
2
3
，F(xiàn)=0，
故過O、A、B三點的圓的方程為x2+y2-
10
3
x-
2
3
y=0．
點評：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用、向量及圓的方程的綜合應(yīng)用，解題時要認真審題，注意運用方程思想、轉(zhuǎn)化思想、待定系數(shù)、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法，同時考查了學生的基本運算能力與運算技巧，難度中等．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的點N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點，若
OA
•
OB
=0，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知點P（2cosx+1，2cos2x+2）和點Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動點P在射線OA上運動，動點Q在y軸的正半軸上運動，△POQ的面積為2
3
．
（1）求線段PQ中點M的軌跡C的方程；
（2）R1，R2是曲線C上的動點，R1，R2到y(tǒng)軸的距離之和為1，設(shè)u為R1，R2到x軸的距離之積．問：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個焦分別為F1，F(xiàn)2．過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的一個頂點為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點B關(guān)于直線l 的對稱點落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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