Question

若拋物線C₁：有y²=4x的焦點與橢圓C₂的右焦點重合，橢圓的上頂點為B，右頂點為A，橢圓的左、右焦點為F₁、F₂，3|

F1B

|cos∠BF₁F₂=

3

|

OB

|
（Ⅰ）求橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若斜率為k（k＞0）的直線l，過點D（0，2），且與橢圓C₂交于M，N兩點．H為M，N的中點，且

OH

∥

AB

，求斜率k的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意求出a，b，c 從而得到橢圓的方程；（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理化簡，進(jìn)而由平行解k．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）；
|

F1B

|=a，cos∠BF₁F₂=

c

a

，|

OB

|=b；
∵3|

F1B

|cos∠BF₁F₂=

3

|

OB

|，
∴3a•

c

a

=

3

b；即b=

3

•c=

3

．
則a=2．
∴橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，
與

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)立可得，
3x²+4（kx+2）²-12=0，
即（4k²+3）x²+16kx+4=0，
則△=（16k）²-4×4×（4k²+3）＞0，
解得，k＞

1

2

．
此時，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

16k

4k2+3

，y₁+y₂=k•（-

16k

4k2+3

）+2=

-8k2+6

4k2+3

，
則點H（-

8k

4k2+3

，

-4k2+3

4k2+3

），
∵

OH

∥

AB

，
∴

-4k2+3

-8k

=

3 -0

0-2

，
解得，k=

6 - 3

2

．

點評：本題考查了橢圓的方程求法，及橢圓與直線聯(lián)立的相關(guān)問題，化簡比較難，要細(xì)致，屬于中檔題．