Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）對任意的實(shí)數(shù)x均存在f（a）≤f（x）≤f（0），且|a|的最小值為

π

2

，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：

分析：根據(jù)條件f（a）≤f（x）≤f（0），確定函數(shù)的最大值和最小值，進(jìn)而確定φ的值，由|a|的最小值為

π

2

，得到函數(shù)的最小周期，解得ω=2，然后根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

解答： 解：∵對任意的實(shí)數(shù)x均存在f（a）≤f（x）≤f（0），
∴f（0）為函數(shù)的最大值，f（a）為函數(shù)最小值．
即f（0）=sinφ=1，即φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴f（x）=sin（ωx+

π

2

+2kπ）=cosωx，
∵f（a）為函數(shù)最小值．
∴f（a）=cos（aω）=-1，
∵|a|的最小值為

π

2

，
∴|a|的最小值為

T

2

，
即

T

2

=

π

2

，∴最小周期T=π，
此時T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∴f（x）=cos2x，
由2kπ≤2x≤2kπ+π，
即kπ≤x≤kπ+

π

2

，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ，kπ+

π

2

]，k∈Z，
故答案為：[kπ，kπ+

π

2

]，k∈Z．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握相應(yīng)的三角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)．