Question

已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值及取得最大值的身變量x的集合；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，利用周期同時(shí)求得函數(shù)最小正周期，令2x+

π

6

=2kπ+

π

2

求得函數(shù)取最大值時(shí)，x的集合．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1
=4cosx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-1
=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

），
∴函數(shù)的最小正周期為π． 
當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

6

時(shí)，k∈Z，y取得最大值為2，
此時(shí)自變量x的取值集合為{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}；            
（2）當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

時(shí)，即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

時(shí)，k∈Z，函數(shù)單調(diào)增，
∴函數(shù)的遞增區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈z）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)．解題過(guò)程中常需要結(jié)合三角函數(shù)的圖象來(lái)解決函數(shù)最值，單調(diào)性等問(wèn)題．