已知a+b+c=
1
a
+
1
b
+
1
c
=1，求證a、b、c中至少有一個等于1．
分析：由 a+b+c=
1
a
+
1
b
+
1
c
=1，將式子進行變形整理，得出（a+c）（a+b）（b+c）=0，即（1-b）（1-c）（1-a）=0從而得出原命題正確．
解答：證明：本題即要證明 a-1、b-1、c-1中至少有一個為零．
∵a+b+c=
1
a
+
1
b
+
1
c
=1，∴（a+b+c）（
1
a
+
1
b
+
1
c
）=1，
∴（a+b+c）（ab+ac+bc）-abc=0，∴（a+b+c）[b（a+c）+ac（a+b+c）]-abc=0，
∴（a+b+c）b（a+c）+ac（a+c）=0，∴（a+c）（ab+b2+bc+ac）=0，
∴（a+c）（a+b）（b+c）=0，∴（1-b）（1-c）（1-a）=0，
故1-b、1-c、1-a中至少有一個等于0，∴a，b，c 中至少有一個等于1．
點評：此題主要考查了分式的等式證明，由已知得出（a+b+c）（
1
a
+
1
b
+
1
c
）=1，進而得出（1-b）（1-c）（1-a）=0，即（1-b）（1-c）（1-a）=0，從而解決問題，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是（　�。�
A、若a＞b，則ac2＞bc2
B、若
a
c
＞
b
c
，則a＞b
C、若a3＞b3且ab＜0，則
1
a
＞
1
b
D、若a2＞b2且ab＞0，則
1
a
＜
1
b

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞b＞c＞d，求證：
1
a-b
+
1
b-c
+
1
c-d
≥
9
a-d
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知a+b+c=
1
a
+
1
b
+
1
c
=1，求證a、b、c中至少有一個等于1．

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